Teoremas del área de momentos

. Teoremas del área de momentos

 

En la mayoría de los casos prácticos, la elástica es tan llana que no se comete error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyección dx. En estas condiciones, se tiene: (b)

Evidentemente, dos tangentes trazadas a la elástica en C y D, como en la figura 1-b, forman el mismo ángulo dθ que el que forman las secciones OC y OD, por lo que la desviación angular, o ángulo entre las tangentes a la elástica en dos puntos cualesquiera A y B, es igual a la suma de estos pequeños ángulos: (c)

 

Obsérvese también, figura 1-b, que la distancia desde el punto B de la elástica, medida perpendicularmente a la posición inicial de la viga, hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A, es la suma de los segmentos dt interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elástica en puntos sucesivos. Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elástica en puntos sucesivos. Cada uno de estos segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y ángulo dθ:

dt = x dθ

De donde
Sustituyendo dθ por su valor en la ecuación (b) (d)

La longitud tB/A se llama desviación de B con respecto a una tangente trazada por A, o bien, desviación tangencial de B con respecto a A. La figura 2 aclara la diferencia que existe entre la desviación tangencial tB/A de B respecto de A y la desviación tA/B de A con respecto a B. En general, dichas desviaciones son distintas.

 

Figura 2. En general, tA/B no es igual a tB/A

El significado geométrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas fundamentales del método del área de momentos. En el diagrama de momentos flexionantes de la figura 1-c, se observa que M dx es el área del elemento diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B. Ahora bien, como es la suma de tales elementos, la ecuación (c) se puede escribir en la forma:
(1)
Esta es la expresión algebraica del Teorema I, que se puede enunciar como sigue:

Teorema 1:

La derivación angular, o ángulo entre las tangentes trazadas a la elástica en dos puntos cualesquiera A y B, es igual al producto de 1/EI por el área del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos.

La figura 6-8c muestra como la expresión x (M dx) que aparece dentro de la integral en la ecuación (d) es el momento del área del elemento rayado con respecto a la ordenada en B.

Por tanto, el significado geométrico de la integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del área de la porción del diagrama de momentos flexionantes comprendida entre A y B. Con ello la expresión algebraica es:

TB/A = 1/EI *(área)AB XB

El área bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elástica.

Ángulo tangente en B medido desde la tangente en A.
Se mide en radianes.
Áreas positivas indican que la pendiente crece.

Teorema 2:

La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada a la elástica en otro punto cualquiera A, en direccion perpendicular a la inicial de la viga, es igual al producto de 1/EI por el momento con respecto a B delo área de la porción del diagrama de momentos entre los puntos A y B.

El producto EI se llama rigidez a la flexión. Obsérvese que se ha supuesto tácticamente que E e I permanecían constantes en toda la longitud de la viga, que es un caso muy común.

Sin embargo, cuando la rigidez es variable, no puede sacarse EI del signo integral, y hay que conocerla en función de x. tales variaciones suelen tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de momentos para obtener de esta manera un diagrama de M/EI al que se aplican los dos teoremas, en vez de aplicarlos al diagrama de M.

En los dos teoremas (área)AB representa el área de diagrama de momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B, xB es el brazo de momento de ésta área con respecto a B. El momento de área se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviación se desea obtener.

Por teoría de los ángulos pequeños tenemos:

Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la desviación vertical entre las tangentes en A y B.

Momento de primer orden con respecto a A del área bajo la curva de entre A Y B.

El teorema es: “La desviación de la tangente en un punto A sobre la curva elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B, es igual al momento del área bajo la curva M/EI entre los puntos Ay B con respecto a un eje A.

Se cumple siempre cuando en la curva no haya discontinuidades por aarticulaciones.Esta desviación siempre es perpendicular a la posición original de la viga y se denomina flecha.

Convencion de signos

Los convenios de signos siguientes son de gran importancia: la esviacion tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto uqeda por encima de la tangente con respecto a la cual se toma esta desviación, y negativa si queda debajo de dicha tangente.

El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes. Un valor positivo de la variacion de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la derecha, B, se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada enel punto mas a la izquierda, A, es decir, que para pasar de la tangente en A a la tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj, y viceversa para los valores negativos de qAB .

EJEPLOS:

1. Calcular la flecha en A.

2. Calcular las flechas

3. Calcular las deflexiones y la flecha D.



4. Calcular el desplazamiento.


5. Calcular el angulo de giro.